摘要：本文分析了分類思想在初中教學(xué)中的滲透，希望能給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來幫助。
關(guān)鍵詞：分類思想；初中教學(xué)；滲透
數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。數(shù)學(xué)分類思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。分類思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的。分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。
一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)
每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類、絕對值的意義、不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會(huì)。
教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：
為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。
認(rèn)識(shí)數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。
講解絕對值的意義時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：
通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識(shí)，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。
又如，兩個(gè)有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識(shí)點(diǎn)，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。
結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)。并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。
二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性
在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。
分類的方法常有以下幾種：
1. 根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類
有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。
例1.-25+-26-96--39=
這是按絕對值的意義進(jìn)行分類。
2. 根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類
學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí)，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。
例2. 解關(guān)于x的不等式：ax+3>2x+a
分析：通過移項(xiàng)不等式化為（a-2）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0，a-2=0，和a-2<0三種情況分別解不等式。
當(dāng)a-2>0，即a>2時(shí)，不等式的解是x>■
當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1
因?yàn)?≠-1，所以不等式的解是一切實(shí)數(shù)。
當(dāng)a-2<0，即a<2時(shí)，不等式的解是x<■
3. 根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類
如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。
例3. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是 .（2008年河南中考題）
分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，可得腰上的高。或從幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類。
在證明圓周角定理時(shí)。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。
三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力
初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性和縝密性。
一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。
例4. 已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。
分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m-1=0 和 m-1≠0 兩種情況來研究解決問題。
解：當(dāng)m=1時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）。
當(dāng) m≠1 時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)y=（m-1）x2+（m-2）x-1
當(dāng)Δ=0，得 m=0.
拋物線 y=-x2-2x-1，的頂點(diǎn)（-1，0）在x軸上
由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常清晰，步驟非常明了。另一方面在討論中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。筆者相信會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效的。
（作者單位：山西省河曲縣教學(xué)研究室 036500）