不定方程的分析求解
不定方程的定義
所謂不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些（如要求是有理數(shù)，整數(shù)或正整數(shù)等等)限制的方程或方程組.不定方程也稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，也是數(shù)學(xué)上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一，不定方程的內(nèi)容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論都有較為密切的聯(lián)系.
下面對(duì)中學(xué)階段常用的求不定方程整數(shù)解的方法做以總結(jié)：
一般常用的求不定方程整數(shù)解的方法
(1)分離整數(shù)法
此法主要是通過解未知數(shù)的系數(shù)中絕對(duì)值較小的未知數(shù)，將其結(jié)果中整數(shù)部分分離出來，則剩下部分仍為整數(shù)，則令其為一個(gè)新的整數(shù)變量，以此類推，直到能直接觀察出特解的不定方程為止，再追根溯源，求出原方程的特解.
(2)輾轉(zhuǎn)相除法
此法主要借助輾轉(zhuǎn)相除式逆推求特解，具體步驟如下：
第一步，化簡(jiǎn)方程，盡量化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)潔形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步，縮小未知數(shù)的范圍，就是利用限定條件將未知數(shù)限定在某一范圍內(nèi)，便于下一步討論;
第三步，用輾轉(zhuǎn)相除法解不定方程.
(3)不等式估值法
先通過對(duì)所考查的量的放縮得到未知數(shù)取值條件的不等式，再解這些不等式得到未知數(shù)的取值范圍.
(4)逐漸減小系數(shù)法
此法主要是利用變量替換，使不定方程未知數(shù)的系數(shù)逐漸減小，直到出現(xiàn)一個(gè)未知量的系數(shù)為±1的不定方程為止，直接解出這樣的不定方程(或可以直接能用觀察法得到特解的不定方程為止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
(5)分離常數(shù)項(xiàng)的方法
對(duì)于未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間有某些特殊關(guān)系的不定方程，如常數(shù)項(xiàng)可以拆成兩未知數(shù)的系數(shù)的倍數(shù)的和或差的不定方程，可采用分解常數(shù)項(xiàng)的方法去求解方程.
(6)奇偶性分析法
從討論未知數(shù)的奇偶性入手，一方面可縮小未知數(shù)的取值范圍，另一方面又可用2n或2n+1(n∈Z)代入方程，使方程變形為便于討論的等價(jià)形式.
(7)換元法
利用不定方程未知數(shù)之間的關(guān)系（如常見的倍數(shù)關(guān)系），通過代換消去未知數(shù)或倍數(shù)，使方程簡(jiǎn)化，從而達(dá)到求解的目的.
(8)構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種有效的解題方法，并且構(gòu)造法對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有很重要的意義，成功的構(gòu)造是學(xué)生心智活動(dòng)的一種探求過程，是綜合思維能力的一種體現(xiàn)，也是對(duì)整個(gè)解題過程的一種洞察力、預(yù)感力的一種反映.構(gòu)造體現(xiàn)的是一種轉(zhuǎn)化策略，在處理不定方程問題時(shí)可根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)，構(gòu)造出符合要求的特解或者構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式等.
(9)配方法
把一個(gè)式子寫成完全平方或完全平方之和的形式，這種方法叫做配方法.配方法是式子恒等變形的重要手段之一，是解決不少數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要方法.在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)過用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式等等，是數(shù)學(xué)中很常用的方法.
(10)韋達(dá)定理
韋達(dá)定理是反映一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的重要定理，廣泛應(yīng)用于初等代數(shù)、三角函數(shù)及解析幾何中，應(yīng)用此法解題時(shí)，先根據(jù)已知條件或結(jié)論，再通過恒等變形或換元等方法，構(gòu)造出形如a+b、a×b形式的式子，最后用韋達(dá)定理.
(11)整除性分析法
用整除性解決問題，要求學(xué)生對(duì)數(shù)的整除性有比較到位的把握.
(12)利用求根公式
在解不定方程時(shí)，若因數(shù)分解法、約數(shù)分析均不能奏效，我們不妨將其中一個(gè)未知數(shù)看成參數(shù)，然后利用一元二次方程的求根公式去討論.