不定方程的分析求解
不定方程的定義
所謂不定方程是指未知數的個數多于方程的個數，且未知數受到某些（如要求是有理數，整數或正整數等等)限制的方程或方程組.不定方程也稱丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是數學上最活躍的數學領域之一，不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論都有較為密切的聯系.
下面對中學階段常用的求不定方程整數解的方法做以總結：
一般常用的求不定方程整數解的方法
(1)分離整數法
此法主要是通過解未知數的系數中絕對值較小的未知數，將其結果中整數部分分離出來，則剩下部分仍為整數，則令其為一個新的整數變量，以此類推，直到能直接觀察出特解的不定方程為止，再追根溯源，求出原方程的特解.
(2)輾轉相除法
此法主要借助輾轉相除式逆推求特解，具體步驟如下：
第一步，化簡方程，盡量化簡為簡潔形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步，縮小未知數的范圍，就是利用限定條件將未知數限定在某一范圍內，便于下一步討論;
第三步，用輾轉相除法解不定方程.
(3)不等式估值法
先通過對所考查的量的放縮得到未知數取值條件的不等式，再解這些不等式得到未知數的取值范圍.
(4)逐漸減小系數法
此法主要是利用變量替換，使不定方程未知數的系數逐漸減小，直到出現一個未知量的系數為±1的不定方程為止，直接解出這樣的不定方程(或可以直接能用觀察法得到特解的不定方程為止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
(5)分離常數項的方法
對于未知數的系數和常數項之間有某些特殊關系的不定方程，如常數項可以拆成兩未知數的系數的倍數的和或差的不定方程，可采用分解常數項的方法去求解方程.
(6)奇偶性分析法
從討論未知數的奇偶性入手，一方面可縮小未知數的取值范圍，另一方面又可用2n或2n+1(n∈Z)代入方程，使方程變形為便于討論的等價形式.
(7)換元法
利用不定方程未知數之間的關系（如常見的倍數關系），通過代換消去未知數或倍數，使方程簡化，從而達到求解的目的.
(8)構造法
構造法是一種有效的解題方法，并且構造法對學生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有很重要的意義，成功的構造是學生心智活動的一種探求過程，是綜合思維能力的一種體現，也是對整個解題過程的一種洞察力、預感力的一種反映.構造體現的是一種轉化策略，在處理不定方程問題時可根據題設的特點，構造出符合要求的特解或者構造一個求解的遞推式等.
(9)配方法
把一個式子寫成完全平方或完全平方之和的形式，這種方法叫做配方法.配方法是式子恒等變形的重要手段之一，是解決不少數學問題的一個重要方法.在初中階段，我們已經學過用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函數化為標準形式等等，是數學中很常用的方法.
(10)韋達定理
韋達定理是反映一元二次方程根與系數關系的重要定理，廣泛應用于初等代數、三角函數及解析幾何中，應用此法解題時，先根據已知條件或結論，再通過恒等變形或換元等方法，構造出形如a+b、a×b形式的式子，最后用韋達定理.
(11)整除性分析法
用整除性解決問題，要求學生對數的整除性有比較到位的把握.
(12)利用求根公式
在解不定方程時，若因數分解法、約數分析均不能奏效，我們不妨將其中一個未知數看成參數，然后利用一元二次方程的求根公式去討論.