重心

　　重心定義：

　　物體的重心與物體的形狀有關(guān)，規(guī)則圖形的重心就是它的幾何中心。

　　如：線段，平行四邊形，三角形，正多邊形等等。

　　其它圖形重心：

　　注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄板。

　　三角形的重心就是三邊中線的交點(diǎn)。線段的重心就是線段的中點(diǎn)。

　　平行四邊形的重心就是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)。

　　平行六面體的重心就是其四條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是六對(duì)對(duì)棱中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，也是四對(duì)對(duì)面重心連線的交點(diǎn)。

　　圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。

　　錐體的重心是頂點(diǎn)與底面重心連線的四等分點(diǎn)上最接近底面的一個(gè)。

　　四面體的重心同時(shí)也是每個(gè)定點(diǎn)與對(duì)面重心連線的交點(diǎn)，也是每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)確定平面的交點(diǎn)。

　　正多邊形的重心是其對(duì)稱軸的交點(diǎn)。

　　由物理方法，我們可以找出任意四邊形的重心。

　　三角形重心：

　　重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一點(diǎn)可用燕尾定理證明。

　　三角形重心性質(zhì)：

　　1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

　　2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

　　3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

　　4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

　　空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3。

　　5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

　　6.(萊布尼茲公式)三角形ABC的重心為G，點(diǎn)P為其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則

　　3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。

　　7.在三角形ABC中，過(guò)重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP+AC/AQ=3。

　　8.從三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別向以他們的對(duì)邊為直徑的圓作切線，所得的6個(gè)切點(diǎn)為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)為半徑的圓周上。

　　三角形“五心歌”

　　三角形有五顆心；重、垂、內(nèi)、外和旁心，

　　五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混。

　　重 心

　　三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧；

　　交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了；

　　重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；

　　長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好。

　　垂 心

　　三角形上作三高，三高必于垂心交；

　　高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整；

　　直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形；

　　四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清。

　　內(nèi) 心

　　三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線；

　　三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；

　　點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓；

　　此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然。

　　外 心

　　三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊；

　　作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)；

　　此點(diǎn)定義為“外心”，用它可作外接圓；

　　“內(nèi)心”“外心”莫記混，“內(nèi)切”“外接”是關(guān)鍵。