圓的定義：
圓是一種幾何圖形。當(dāng)一條線段繞著它的一個端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點(diǎn)的軌跡叫做圓。
在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。
相關(guān)定義:
1 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。這個定點(diǎn)叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。
2 連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，字母表示為r。
3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。
4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。
5 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。
8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。
9 頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角。
10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，通常用π表示，π=3.14159265……在實(shí)際應(yīng)用中，一般取π≈3.14。
11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。
12 圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數(shù)），邊長無限接近0但不等于0。
圓的集合定義：
圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。
圓的字母表示：
以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。
圓—⊙ ；
半徑—r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母）；
弧—⌒ ；
直徑—d ；
扇形弧長—L ；
周長—C ；
面積—S。
圓的性質(zhì):
（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。
圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。
逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。
�。�2）有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理
① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。
�、谠谕瑘A或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側(cè)）。
直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
圓心角計(jì)算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。
�、� 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
�。�3）有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理
�、僖粋�三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個頂點(diǎn)距離相等；
�、趦�(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。
�、跼=2S△÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。
�、軆上嗲袌A的連心線過切點(diǎn)。（連心線：兩個圓心相連的直線）
�、輬AO中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。
�。�4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。
�。�6）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。
�。�7）圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。
�。�8）周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。
點(diǎn)、線、圓與圓的位置關(guān)系：
點(diǎn)和圓位置關(guān)系
①P在圓O外，則 PO>r。
�、赑在圓O上，則 PO=r。
�、跴在圓O內(nèi)，則 0≤PO<r。
反過來也是如此。
直線和圓位置關(guān)系
�、僦本�和圓無公共點(diǎn)，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。
�、谥本�和圓有兩個公共點(diǎn)，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d<r。
�、壑本�和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與⊙O相切，d=r。（d為圓心到直線的距離）
圓和圓位置關(guān)系
①無公共點(diǎn)，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。
�、谟形ㄒ还颤c(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。
�、塾袃蓚�公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P<R-r；
內(nèi)切P=R-r；相交R-r<P<R+r。
圓的計(jì)算公式:
1.圓的周長C=2πr=或C=πd
2.圓的面積S=πr2
3.扇形弧長L=圓心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n為圓心角）
4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2（L為扇形的弧長）
5.圓的直徑 d=2r
6.圓錐側(cè)面積 S=πrl（l為母線長）
7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L（L為母線長）（r為底面半徑）
圓的方程:
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
�。▁-a）2+（y-b)2=r2。
特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。
2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=
（D2+E2-4F）/4.故有：
�、佼�(dāng)D2+E2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（√D2+E2-4F）/2為半徑的圓；
�、诋�(dāng)D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(diǎn)（-D/2，-E/2）；
�、郛�(dāng)D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形。
3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ為參數(shù)）
圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0
圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。
經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M（a0，b0）的切線方程為 a0·x+b0·y=r2
在圓（x2+y2=r2）外一點(diǎn)M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點(diǎn)為A,B，則A,B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。
圓的歷史:
圓形，是一個看來簡單，實(shí)際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的。當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時滾著走比較省勁。后來他們在搬運(yùn)重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。
約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。
會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。
任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535……但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.《周髀算經(jīng)》上說"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個近似值。美索不達(dá)來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時，發(fā)現(xiàn)"周三徑一"只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。 在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數(shù)值。現(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后六十萬億位小數(shù)了。