定積分的定義:
設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界(通常指有最大值和最小值),在a與b之間任意插入n-1個分點,,將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間(i=1,2,…,n),記每個小區(qū)間的長度為(i=1,2,…,n),在上任取一點ξi,作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)(i=1,2,…,n),并求和,記λ=max{△xi;i=1,2,…,n },如果當λ→0時,和s總是趨向于一個定值,則該定值便稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分,記為,即,其中, 稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的積分和。
定積分的幾何意義:
定積分在幾何上,
當f(x)≥0時,表示由曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積;
當f(x)≤0時,表示由曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積的負值;
一般情況下,表示介于曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸之間的個部分面積的代數(shù)和。
定積分的性質(zhì):
。1)(k為常數(shù));
。2);
。3)(其中a<c<b)。
定積分特別提醒:
、俣ǚe分不是一個表達式,而是一個常數(shù),它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關,而與積分變量的記法無關,例如:
②定義中區(qū)間的分法和ξ的取法是任意的