二項(xiàng)式定理：
，
它共有n+1項(xiàng)，其中
（r=0，1，2…n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，
叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng).
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
�。�1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
；
（2）增減性與最大值：當(dāng)
時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)
的值逐漸增大；當(dāng)
時(shí)，的值逐漸減小，且在中間取得最大值。
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
相等并同時(shí)取最大值。
二項(xiàng)式定理的特別提醒：
①
的二項(xiàng)展開式中有(n+1)項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1．
②二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)
，它與二項(xiàng)展開式的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)注意區(qū)別“二項(xiàng)式系數(shù)”與“二項(xiàng)展開式的系數(shù)”。
③二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)：
在排列方式上，按照字母a的降冪排列，從第一項(xiàng)起，a的次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1，直到0，同時(shí)字母6按升冪排列，次數(shù)由0逐項(xiàng)增加1，直到n，并且形式不能亂．
④二項(xiàng)式定理中的字母a，b是不能交換的，即
與
的展開式是有區(qū)別的，二者的展開式中的項(xiàng)的排列次序是不同的，注意不要混淆．
⑤二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，該等式都成立，因而，對(duì)a，b取不同的特殊值，可以對(duì)某些問題的求解提供方便，二項(xiàng)式定理通常有如下兩種情形:
�、迣�(duì)二項(xiàng)式定理還可以逆用，即
用于式子的化簡(jiǎn)。
二項(xiàng)式定理常見的利用：
方法1：利用二項(xiàng)式證明有關(guān)不等式證明有關(guān)不等式的方法：
(1)用二項(xiàng)式定理證明組合數(shù)不等式時(shí)，通常表現(xiàn)為二項(xiàng)式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式證明的方法進(jìn)行論證．
(2)運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式．證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法，即對(duì)結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項(xiàng)可以去掉．
方法2：利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)：
(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本做法是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可．
(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，通常把底數(shù)寫成除數(shù)（或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù)）與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面（或者是前面）一、二項(xiàng)就可以了．
(3)要注意余數(shù)的范圍，
為余數(shù)，b∈[0，r)，r是除數(shù)，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)要注意轉(zhuǎn)換．
方法3：利用二項(xiàng)式進(jìn)行近似解：
當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很少且n不大時(shí)，常用近似公式
，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分
很小，可以忽略不計(jì)，類似地，有
但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件以及對(duì)計(jì)算精確度的要求．要根據(jù)要求選取展開式中保留的項(xiàng)，以最后一項(xiàng)小數(shù)位超要求即可，少了不合要求，多了無用且增加麻煩．
方法4：求展開式特定項(xiàng)：
(1)求展開式中特定項(xiàng)主要是利用通項(xiàng)公式來求，以確定公式中r的取值或范圍．
(2)要正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù)，對(duì)于(a-b)n數(shù)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)問題可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)的最大問題，要注意系數(shù)的正負(fù)．
方法5：復(fù)制法
利用復(fù)制法可以求二項(xiàng)式系數(shù)的和及特殊項(xiàng)系數(shù)等問題。一般地，對(duì)于多項(xiàng)式
方法6：多項(xiàng)式的展開式問題：
對(duì)于多項(xiàng)式(a+b+c)n，我們可以轉(zhuǎn)化為[a+(b+c)]n的形式，再利用二項(xiàng)式定理，求解有關(guān)問題。